Módulo 18 Semana 2 Actividad: "La derivada y su función". Prepa en Línea SEP.

La derivada y su función…                  Autor: Irma Robles Alatorre

1. Lee con atención la siguiente situación:

Supongamos que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función:
c (x) = 5x² + 3x

Es decir, para producir 1,150 toneladas de jitomate se necesitan c (1,150) = 5 (1,150)² + 3(1,150) = 6,615,950 (seis millones seiscientos quince mil novecientos cincuenta pesos).

Si queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 30 toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el siguiente proceso:

a.            Se deriva la función del costo de producción

c(x)= 5x²+3x        Sustituyendo:   c(1150)= (5(1150)²) + (3(1150)) = 6,615,950

Para derivarla se utiliza la siguiente fórmula, que es para realizar una derivada de un polinomio:

El resultado o la derivada de la función de producción total es:

2. ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30 toneladas la producción, es decir, por producir 1,180 toneladas de jitomate?

Datos originales:
1150 toneladas de jitomate c (1,150) = 5 (1,150)² + 3(1,150) = 6,615,950

Aquí vamos sustituyendo los valores de los datos que nos pide la fórmula para calcular la derivada del incremento:

Usamos el resultado de la derivada que nos dan: d =  (10x + 3)>      
d=  (10x+3)(30)          d= (10(1150)+3 )* 30      d= (11500 + 3)*30   
d= (11503)(30) = 345 090

Derivada  del incremento de 30 toneladas: 345,090

Costo de la producción original de 1150 toneladas: 6,615,950

Costo total de la producción de 1180 toneladas:
345,090 + 6,615,950 = 6,961,040

• En esta situación ¿para qué se aplicó la derivada de la función de producción total?

En este caso se resolvió una ecuación  para encontrar el valor del costo por tonelada del incremento de la producción del jitomate, por medio del cálculo de la derivada se puede saberla relación que existe entre las dos magnitudes, en este caso la producción y el costo inicial con estos datos se calcula la derivada que es cuanto representa en costo total, el incremento de producción, ahora sé que la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. Es importante recordar que donde la función es creciente su derivada tiene que ser positiva y donde es decreciente la derivada deberá ser negativa.

En este caso es una función creciente ya que las variables aumentan, vemos el incremento en la producción y al mismo tiempo sabemos cómo se incrementa el costo, podemos ver que el costo se eleva demasiado en las ultimas 30 toneladas. La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y mínimos) para buscar donde se presentan los cambios en la curva. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en cada punto de la curva.

Fuentes:

Contenido extenso del módulo 18. Prepa en Línea SEP http://148.247.220.212/c4/pluginfile.php/10351/mod_resource/content/1/M18_U1.pdf

https://www.incress.com/valores-participacion/2012/07/28/%C2%BFque-es-y-para-que-sirve-una-derivada/

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funcion_derivada/derivada_indice.htm