Autor: Irma Robles Alatorre.
El cambio
climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la
intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto
invernadero, como el CO2, en la atmosfera.
El
observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la
concentración de CO2 sobre la superficie de los mares, teniendo
un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico,
similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo
matemático que aproxima la concentración del CO2, por año.
Para
pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de
la medición de tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de
este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último se ajustan las
escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto, porque
es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:
La
gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:
2. Ahora analiza haciendo
uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la
concentración de CO2 y aplicando diferenciales. Luego
debes aplicar y solucionar lo siguiente:
a)
Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares de
1980 a 1984.
Para 1980
le damos el valor de: -à X1
Para 1984
le damos el valor de: à X2
La
expresión de la razón de cambio es: Δx = X2 – X1 Δx = 1984 - 1980 = 4 ß dx
F(x)= 337.09e0.0047x
La derivamos:
f(x) = 337.09e0.0047x
f ´(x) = 0.0047 * 337.09e0.0047x =
(337.09 *
0.0047) = 1.584323e0.0047x f ´(x) = 1.584323e0.0047x
Ahora que ya tengo los valores
puedo sustituir la fórmula:
f(x+ Δx) = f(x) + f ´(x)dx Evaluamos cuando
xà 0
Sustituimos los valores: F(x)= 337.09e0.0047x f ´(x) = 1.584323e0.0047x dx= 4
f(x+ Δx) = 337.09e0.0047x + 1.584323e0.0047x * 4 =
f(x+ Δx) = 337.09e0.0047(0) + 1.584323e0.0047(0) * 4 =
Al
simplificar multiplicamos0.0047por cero da cero y el número de Euler elevado a
la cero da 1 entonces queda así:
f(x+ Δx) = 337.09(1) + 1.584323(1) *
4 =
f(x+ Δx) = 337.09 + 1.584323 * 4
f(x+ Δx)
= 343.427292 ßdy
b) Determina la ecuación de la recta tangente a la
gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=337.09e0.0047x,
en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t =
1.
Y –y1= f´(x) (x – x1)
Tenemos que:
X = 0 y1 = 337.09 f´(x) = 1.584323
f´(x)=
1.584323e0.0047x f(0)=
1.584323e0.0047(0) =
1.584323(1) f´(x)= 1.584323
f(x) =
337.09e0.0047x f(0) =
337.09e0.0047(0) f(0) =
337.09(1) f(0) = 337.09 ß y1
Y –y1= f´(x) (x – x1)
Y – 337.09 = 1.584323(x – x1) despejamos enviando el valor de y1 al otro lado de la igualdad de restar a sumar:
Y - 337.09 = 1.584323(x – 0)
Y= 1.584323x + 337.09= ß Esta sería la ecuación de la
recta tangente.
Si la
aproximamos a xà1
Y = 1.584323(4)
+ 337.09 = 343.427292
c) Compara tu resultado con lo obtenido
en el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar
estas mediciones?
a) f(x+ Δx) = 343.427292 b)
Y = 343.427292
Aquí
podemos ver que utilizamos dos
estrategias diferentes que nos llevaron a un resultado, muy aproximado la ecuación con la
diferencial de x y la ecuación de la recta tangente. Podemos ver que la recta
tangente en un punto de una función es la mejor aproximación lineal a la misma,
en el resultado podemos comprobar que es correcto ya que coinciden en f(1) y
los valores de la función son parecidos.
x
|
f(x) =
(337.09e^(0.0047)(x)
|
Y = 1.584323x + 337.09
|
0
|
337.09
|
337.09
|
1
|
338.67
|
338.67
|
2
|
340.27
|
340.26
|
4
|
343.49
|
343.43
|
6
|
346.73
|
346.60
|
8
|
350.01
|
349.76
|
10
|
353.31
|
352.93
|
12
|
356.65
|
356.10
|
14
|
360.02
|
359.27
|
16
|
363.42
|
362.44
|
18
|
366.85
|
365.61
|
20
|
370.31
|
368.78
|
22
|
373.81
|
371.95
|
24
|
377.34
|
375.11
|
26
|
380.90
|
378.28
|
28
|
384.50
|
381.45
|
30
|
388.13
|
384.62
|
Fuentes:
Recursos del módulo.
Diferenciales
Videotutorial
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