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lunes, 4 de junio de 2018

Módulo 18 Semana 3 Concentración de CO2 en una función. Prepa en Línea SEP


Autor: Irma Robles Alatorre.     


El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO2, en la atmosfera.
El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO2 sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO2, por año.
A continuación se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo1 del promedio anual de CO2 sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio directamente.


Para pensar esta función de crecimiento se considera el año 1980 como el inicio de la medición de tiempo, es decir, se toma como t = 0, a partir de este punto comienza a avanzar la variable temporal, por último se ajustan las escalas para que los ejes tengan el mismo tamaño entre cada valor, esto, porque es la forma más común de trabajarlo, de manera que la gráfica resultante es:
 Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por: f(t)=337.09e0.0047x            

La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:

 
2. Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO2 y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:
a) Aproxima el cambio en la concentración de CO2 en los mares de 1980 a 1984.
Utiliza la diferencial de una función para encontrar el cambio de o a 1:
Para 1980  le damos el valor de: -à  X1           
Para 1984  le damos el valor de: à   X2
La expresión de la razón de cambio es: Δx = X2 – X1    Δx = 1984 - 1980 = 4   ß dx
F(x)= 337.09e0.0047x
La derivamos:
 f(x) = 337.09e0.0047x        
 f ´(x) = 0.0047 * 337.09e0.0047x  =
(337.09 * 0.0047) = 1.584323e0.0047x                    f ´(x) = 1.584323e0.0047x   
Ahora que ya tengo los valores puedo sustituir la fórmula:
f(x+ Δx) = f(x) + f ´(x)dx        Evaluamos cuando xà 0
Sustituimos los valores: F(x)= 337.09e0.0047x  f ´(x) = 1.584323e0.0047x  dx= 4
f(x+ Δx) = 337.09e0.0047x   + 1.584323e0.0047x  * 4 =
f(x+ Δx) = 337.09e0.0047(0)   + 1.584323e0.0047(0) * 4 =
Al simplificar multiplicamos0.0047por cero da cero y el número de Euler elevado a la cero da 1  entonces queda así:
f(x+ Δx) = 337.09(1) + 1.584323(1) * 4 =
f(x+ Δx) = 337.09   + 1.584323 * 4           
f(x+ Δx)  = 343.427292   ßdy
b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica del ajuste exponencial, es decir, a f(x)=337.09e0.0047x, en el punto t=0, y úsala para aproximar la concentración de CO2 en t = 1.
Y –y1= f´(x) (x – x1)
Tenemos que:   X = 0    y1 = 337.09     f´(x) = 1.584323
f´(x)= 1.584323e0.0047x   f(0)= 1.584323e0.0047(0)   = 1.584323(1)  f´(x)=  1.584323
f(x) = 337.09e0.0047x     f(0) = 337.09e0.0047(0)    f(0) = 337.09(1)     f(0) = 337.09 ß y1
Y –y1= f´(x) (x – x1)
Y –  337.09 = 1.584323(x – x1) despejamos enviando  el valor de y1 al otro lado de  la igualdad de restar a sumar:
Y -  337.09 = 1.584323(x – 0)
Y= 1.584323x  + 337.09= ß Esta sería la ecuación de la recta tangente.  
Si la aproximamos a xà1
Y  =  1.584323(4) + 337.09 =  343.427292

c) Compara tu resultado con lo obtenido en el inciso anterior, respondes ¿qué conclusiones puedes generar al observar estas mediciones?  
a) f(x+ Δx)  = 343.427292   b)  Y = 343.427292
Aquí podemos ver  que utilizamos dos estrategias diferentes que nos llevaron a un  resultado, muy aproximado la ecuación con la diferencial de x y la ecuación de la recta tangente. Podemos ver que la recta tangente en un punto de una función es la mejor aproximación lineal a la misma, en el resultado podemos comprobar que es correcto ya que coinciden en f(1) y los valores de la función son parecidos.
x
f(x) = (337.09e^(0.0047)(x)    
Y =  1.584323x + 337.09 
0
337.09
337.09
1
338.67
338.67
2
340.27
340.26
4
343.49
343.43
6
346.73
346.60
8
350.01
349.76
10
353.31
352.93
12
356.65
356.10
14
360.02
359.27
16
363.42
362.44
18
366.85
365.61
20
370.31
368.78
22
373.81
371.95
24
377.34
375.11
26
380.90
378.28
28
384.50
381.45
30
388.13
384.62






                                                                                                                                       

Fuentes:
Recursos del módulo.

Diferenciales

Videotutorial